2022內蒙古國企行測數量關系：錯位重排之信究竟怎樣才能裝錯信封

錯位重排是排列組合中的模型之一，這個模型有個非常有意思的來源，源于著名數學家伯努利歐拉提出的“裝錯信封問題”。若干信紙與信封原本是一一對應的，一般人思考的自然是如何把信紙正確地裝入對應信封，然而數學家思考的卻是信紙全都裝錯信封會有多少種情況。

那么此時我們來思考一下信紙全都裝錯信封會有幾種情況。如果我們有一張信紙對應一個信封，沒有其他選擇，信紙只能裝入正確的信封，所以裝錯信封的情況為0種，記為

如果我們有兩張信紙和兩個信封，信紙①要裝錯只能裝進信封②，而信紙②就只能放進信封①，這是一種情況，且沒有其他情況了，記為

若是三張信紙和三個信封呢?信紙①裝錯有兩種選擇即裝入信封②或③，假設信紙①裝入信封②，信紙②可以裝入信封①和③，但是我們會發現信紙②裝入信封①時，信紙③只能“正確”地裝入信封③，不符合全都裝錯的情況。所以只能是信紙①裝入信封②，信紙②裝入信封③，信紙③裝入信封①。如圖1所示。

同理我們可以得到另一種情況：信紙①裝入信封③，信紙②裝入信封①，信紙③裝入信封②，兩種情況記為

如圖2所示。到這里應該能理解錯位重排的核心了，就是把原本對應的全都打亂能有幾種排列情況。

以此類推我們還可以得到

需要能夠理解并且記住

如果遇到數字比較大的錯位重排時，可以使用

推得。在題目中遇到錯位重排可以直接使用已知的數字或者通過模型推導。

下面我們來做兩道練習題：

例1

a、b、c、d四臺電腦擺放一排，從左往右數，如果a不擺在第一個位置上，b不擺在第二個位置上，c不擺在第三個位置上，d不擺在第四個位置上，那么不同的擺放共有( )種。

A.9 B.10 C.11 D.12

【答案】A

【中公解析】此題直接地考查錯位重排。若我們把四臺電腦按順序分別對應到四個位置，那么題干所要求的就是電腦都不能擺放在原來對應的位置上，考查的就是錯位重排，可得

若不記得

也可以通過

推得。

例2

編號為1至6的6個小球放入編號為1至6的6個盒子里，每個盒子放一個小球，其中恰有2個小球與盒子的編號相同的放法有( )種。

A.9 B.35 C.135 D.265

【答案】C。

【中公解析】此題綜合考查排列組合。6個小球對應6個盒子，恰有2個小球對應2個編號相同的盒子，那么其他4個小球都不能對應。包含分步的過程，先選2個小球編號與盒子對應，

剩下4個錯位重排

分步相乘15×9=135。